C. Açık Önerme Ve Niceleyiciler

• İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenin değerine göre, doğru ya da yanlış önermelere  açık önerme denir. Bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine doğruluk kümesi denir.
• İçinde  gibi tek değişken bulunduran bir p açık önermesi
• Bir elemanın niteliğini ifade etmek için önüne niceleyiciler konur.
• Her (∀) Niceleyicisi: Bütün, tamamı anlamına gelir. Evrensel niceleyicidir.
• Bazı (∃) Niceleyicisi: En az bir anlamına gelir. Varlıksal niceleyicidir.

P açık önermesinin değili (olumsuzu);

• [∃x,p(x)]ʹ≡∀x,pʹ(x) dir.
• [∀x,p(x)]ʹ≡∃x,pʹ(x) dir.

KONU DEĞERLENDİRME SORULARI

1) p: ∀x∈Z , x<4
q: ∃x∈Z, x-2 <11
r: ∀x∈N, 2 < x < 3
2/3 x - y = 7
Yukarıdaki önermeler doğrultusunda pʹ,qʹ,rʹ önermelerinin doğruluk değerlerini sırasıyla yazınız.

Cevap: 0 , 0 , 1
p önermesi tüm tam sayılar için doğru değildir, örneğin; 5>4 tür. O halde, p≡0 olup pʹ≡1 dir.
q önermesini sağlayan öyle bir tam sayısı vardır, örneğin; x=14, o halde, q≡1olup qʹ≡0 dır.
r önermesini sağlayan bir doğal sayı yoktur. O halde, r≡0 olup rʹ≡1 dir.

2) p(x,y): x3 - y > 0 açık önermesinin doğruluk değerinin 1 ve 0 olduğu ikili durumlara birer örnek veriniz.
Cevap: Doğruluk değeri 1 ise; (-1,-2) ve 0 ise; (-1,2)
(-1,-2) için, (-1)3-(-2) = 1 > 0 olup p önermesinin doğruluk değeri 1 olur. (-1,2) için, (-1)3 -(2) = -3 > 0 elde edilir. Bu yanlış bir önerme olup doğruluk değeri 0 olur.

3) Aşağıdaki tabloda a,b,c,d ifadelerinin değerlerini bulunuz.

Cevap: 1, 1, 0, 1
İlk olarak ⇔ ifadesini inceleyelim.
1⇔1≡1
1⇔0≡0
0⇔1≡0
0⇔0≡1
Şimdi, pʹ⇒(q⇔p) inceleyelim.
p=1 ve q⇔p≡1 ise, pʹ⇒1≡0⇒1≡1 dir.
p=1 ve q⇔p≡0 ise, , pʹ⇒0≡0⇒0≡1 dir.
p=0 ve q⇔p≡0 ise, , pʹ⇒0≡1⇒0≡0 dir.
p=0 ve q⇔p≡1 ise, , pʹ⇒1≡1⇒1≡1 dir.