FONKSİYONLAR A ≠ Ø ve B ≠ Ø olmak üzere, A dan B ye bir β bağıntısı verilmiş olsun. A’nın her elemanı B’nin elemanlarıyla bir ve yalnız bir kere eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. x∈ A ve y ∈ B olmak üzere, A’dan B’ye bir f fonksiyonu  f: A → B ya da x → f(x) = y biçiminde gösterilir. A’ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.

• Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
• Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
• s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere;

• Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

           Fonksiyonlarda İşlemler    

        A ∩ B = Ø olmak üzere,            

        f: A → B ve g: B → R fonksiyonları tanımlansın.

• (f + g) :  A ∩ B → R , (f + g) (x) = f(x) + g(x)
• (f - g) :  A ∩ B → R , (f - g) (x) = f(x) - g(x)
• (f . g) :  A ∩ B → R , (f . g) (x) = f(x) . g(x)
• x ∈ A ∩ B için, g(x) ≠ 0 olmak üzere, f/g : A∩ B → R , (f/g) (x) = f(x) / g(x)
• c ∈ R olmak üzere , f:  A → R , (c . f) (x) = c . f(x) tir.

    Fonksiyon Çeşitleri           

Birebir Fonksiyon 

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı ise fonksiyona birebir(1-1) fonksiyon denir. 

         Örten Fonksiyon

 Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. 

f: A → B f(A) = B ise , f örtendir.

• s(A) = m  olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,

                   m! = m . (m - 1) . (m - 2). ...  . 3 . 2 . 1 dir.        

  İçine Fonksiyon 

A’dan B’ye tanımlı f fonksiyonunda değer kümesinde açıkta eleman kalıyor ise, fonksiyona içine fonksiyon denir.

• s(A) = m  olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı :

 Birim Fonksiyon 

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.                                             

 f: R→ R, f(x) = x Genelde I ile gösterilir.           

Sabit Fonksiyon 

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

• x∈ A ve c ∈ B için, f: A → B     f(x) = c ise, f sabit fonksiyondur.
• s(A) = m, s(B) = n  olmak üzere, A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

Çift ve Tek Fonksiyon 

f: R→ R; 

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur. 

f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

• Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
• Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
• Bir fonksiyonun tek ya da çift olması gerekmez.

          Eşit Fonksiyon 

f: A → B 

g: A → B 

Her x ∈ A için  f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

• Fonksiyonların eşit olması için tanım ve değer kümelerinin eşit olması gerekir.

Doğrusal Fonksiyon

Permütasyon Fonksiyon 

f: A → A  olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonunapermütasyon fonksiyon denir. 

A = olmak üzere, f:  A → A 

f = fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup;

Ters Fonksiyon

 f: A → B, f = bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,

 f−1 : B → A , f−1 = fonksiyonuna f’nin ters fonksiyonu denir.

(x,y) ∈ f ise , ( y , x ) ∈ f−1 olduğu için, y = f(x) ise, x = f−1(y)'dir. Ayrıca (f−1)−1 = f'dir. 

Bileşke Fonksiyon

 f: A → B, g: B → C  fonksiyonları tanımlansın. 

f ve g’yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f’nin bileşke fonksiyonu denir.

• (g o f) (x) = g [f(x)] tir.
• Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur. Bu durumda, fog ≠ gofdir. Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.
• Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır. Bu durumda;

                                                 (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.

• I birim fonksiyon olmak üzere, foI = Iof = f ve   f−1of = fof−1 = I dır.
• f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,

• (fog)(x) = h(x)ise, f(x) = (hog−1)(x) dir.ise, g(x) = (f−1oh)(x) tir.

• f−1(x) = f(x) tir.
• (fof) (x) = x
• (fofof) (x) = f(x)
• (fofofof) (x) = x

Grafikte Değer Okuma 

Fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların görüntüsü fonksiyonun grafiğini oluşturur.

Örnek

Buna göre f(3)+f(1)-f(0)+f(4) işleminin sonucu kaçtır? 

f(3)=0 

f(1)=-2 

f(0)=-4 

f(4)=5 0+(-2)-(-4)+5=7 bulunur.