Kümelerde İşlemler

Kesişim İşlemi

A ve B kümelerinin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir. A∩B ile gösterilir.

A ve B kümelerinin ortak elemanı yoksa A ve B ayrık kümelerdir. Yani A∩B=Ø dir.

Kesişim İşleminin Özellikleri

•         A∩A=A
•         A∩B=B∩A
•         A∩Ø=Ø
•         B⊆A ise, A B=B

Birleşim İşlemi

A ve B iki küme olmak üzere, A ile B nin bütün elemanları ile oluşturulan kümeye A birleşim B kümesi denir. A U B şeklinde gösterilir.

Birleşim İşleminin Özellikleri

•  A U A = A
•  A U B = B U A
•  A U Ø = A
•  B⊆A ise, A B=A

Kesişim ve Birleşim İşleminin Ortak Özellikleri

•      Birleşme Özelliği

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A U B) U C=A U (B U C)

•      Dağılma Özelliği

A∩(B C)=(A∩B) (A∩C)

A U (B∩C)=(A U B)∩(A U C)

            Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısı

            A ve B gibi iki kümenin birleşimin eleman sayısı,

                              s(A U B)=s(A)+s(B)-s(A∩B)

           Kartezyen Çarpım

            Sıralı ikililerden oluşur. AxB şeklinde gösterilir.

            A ve B iki küme olmak üzere;

                 AxB=

•      Ax(B U C)=(AxB) U (AxC)
•      Ax(B∩C)=(AxB) ∩ (AxC)

ÖRNEK: A= ve B= ise AxB kümesini bulunuz.

AxB= dir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

2)     Bir grupta her öğrenci en az bir spor dalı ile uğraşmaktadır.Futbol oynayanlar 10,voleybol oynayanlar 12,en çok birini oynayanlar 6 kişidir.

Buna göre,bu grupta her ikisini oynayanların sayısı kaçtır?

ÇÖZÜM:  İki sporu da yapanların sayısı x olsun. O halde,

                    (10 - x) + (12 - x) = 6 ⇒ 22 - 2x = 6

                                                        ⇒ x = 8

3)     s(A)=3, s(B)=7 olduğuna göre s(AUB) nın alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

ÇÖZÜM: En büyük değeri eğer kümeler ayrık ise alır. Yani,

                                  s(AUB) = 7 + 3 = 10

                En küçük değeri ise A ⊂ B ise alır. Yani,

                                   s(AUB) = 7

O halde en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark 3 ’tür.