KARMAŞIK SAYILAR
Belli türden denklemleri çözmek için mevcut sayı kümeleri yetersiz kaldığı durumlarda kümeler genişletilmiştir. Örneğin;    denkleminin doğal sayılarda () çözüm kümesi olmadığından bu küme genişletilerek tam sayılar kümesi () oluşturulmuştur.  denklemi tam sayılarda çözülemeyince tam sayılar kümesi genişletilerek  rasyonel sayılar kümesi () oluşturulmuştur.  denkleminin rasyonel sayılarda çözümü olmadığından rasyonel sayılar kümesi genişletilerek reel sayılar kümesi () oluşturulmuştur.  denkleminin çözüm kümesi reel sayılarda olmadığı için bu küme genişletilerek karmaşık sayılar kümesi () oluşturulmuştur.
KARMAŞIK SAYILARIN KUVVETİ:
 
şeklinde olur. Kuvveti yukarıdaki kuvvetlerden farklı olan karmaşık sayının kuvveti dörde bölünüp kalan hangi sayıya eşit olursa karmaşık sayı o değere eşit olacaktır.
ÖRNEK:
  sayısının eşitini bulalım.
ÇÖZÜM:
İlk önce 175 sayısının dört ile bölümünden kalanını bulalım.  olarak bulunur. Yani sayımızın dört ile bölümünden kalan 3 olacaktır.
   olarak bulunur
ÖRNEK:
  sayısının eşitini bulalım.
ÇÖZÜM:
   (sayıyı böldüğümüzde kalan negatif olduğunda kalan sayıya dört ekliyoruz)
ÖRNEK: 
   işleminin sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM:
  bu sayıların toplamı sıfır olur yani her dörtte bir toplamı sıfır olacaktır.

ÖRNEK:    
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM:
 
 
 
 
 
ÖRNEK:
   işleminin sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM:
 
 
  
KARMAŞIK SAYILARIN GÖSTERİMİ
Karmaşık sayılar  şeklinde gösterilir. sayısına karmaşık sayısının reel kısmı denir ve  şeklinde gösterilir. sayısına karmaşık sayısının sanal (imajiner) kısmı denir ve  şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
  karmaşık sayısının reel ve sanal kısımlarını bulalım.
ÇÖZÜM:
   şeklinde bulunur. Buna göre       olarak bulunur.
İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ:
İki karmaşık sayı eşit olduğu durumda reel kısımlar birbirine sanal kısımlar birbirine eşit olur.

ÖRNEK:  ve    karmaşık sayıları verilmektedir.  olduğuna göre,  ve  değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM:
 
 
KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA ÇIKARTMA
Karmaşık sayılarda toplama ve çıkartma yaparken reel kısımları kendi arasında işlem yapılır, sanal kısımları kendi arasında işleme alınır.
ÖRNEK:     ve    karmaşık sayıları verilsin. Buna göre aşağıdaki değerleri bulalım.
a)      b)        c)
ÇÖZÜM:
a)
b)
c)
KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA:
Karmaşık sayılarda çarpma yapılırken dağılma özelliği kullanılır.
ÖRNEK:
    ve     karmaşık sayıları verilsin. Buna göre,    değerini bulalım.
ÇÖZÜM:

KARMAŞIK SAYILARDA EŞLENİK
Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmın önünde işaretin değişmesidir.  karmaşık sayısının eşleniği  şeklinde ifade edilir. Karmaşık sayının kendisi ile eşleniğinin çarpımı reel kısmın karesi ile sanal kısmın karesinin toplamına eşit olur. Matematiksel olarak,
 eşitliği sağlanır.

 Buna göre aşağıdaki tabloyu inceleyelim.

	0			4
3	3	0	3	9

KARMAŞIK SAYILARDA BÖLME:
Karmaşık sayılarda bölme yaparken payda da olan karmaşık sayının eşleniği ile çarpılarak işlem yapılır.
ÖRNEK:
  ve    olmak üzere,  değerini bulalım.
ÇÖZÜM:
   olarak sonuç bulunur.
KARMAŞIK SAYILARI EKSENLERDE GÖSTERME:
Karmaşık sayıları eksenlerde gösterirken reel kısmı  ekseninde sanal kısmı  ekseninde gösterilerek işlem yapılır.
ÖRNEK:
        karmaşık sayılarını eksenlerde gösterelim.
ÇÖZÜM: